在线性代数课程中，我们一般只需要对二维矩阵进行转置，这是非常简单的。但在编写代码时，我们可能遇到高维（三维、四维等）矩阵转置的问题，那么此时该如何对其进行转置呢？最关键的地方，就是搞清楚在转置过程中，什么位置关系是变化的，什么位置关系是不变的。下面举例说明。

三维矩阵

三位矩阵的转置比较简单，因为它的第二个维度是不发生变化的，实质上只是交换了第一个和第三个维度。

如下面这个 $2\times 2\times 3$ 的矩阵：

[[[ 1.  2.  3.][ 4.  5.  6.]][[ 7.  8.  9.][10. 11. 12.]]]

在这个矩阵中我们称每个 $2\times 3$ 的小矩阵为一个矩阵块，2是这个矩阵块的行数，3是这个矩阵块的列数。也就是说，对于 $2\times 2\times 3$ 的这个大矩阵，第一个维度表示矩阵块的个数，第二个维度表示矩阵块中行的个数，第三个维度表示矩阵块中列的个数。

对它进行转置时，我们要先明确转置后的矩阵形状为 $3\times 2\times 2$。我们可以先把它的整体框架画出：

因为第二个维度是不发生变化的，所以每个矩阵块中的行不会变化，也就是说，1下面仍然是4，2下面仍然是5……

[[[  .   .][  .   .]][[  .   .][  .   .]][[  .   .][  .   .]]]

因为第一个维度和第三个维度发生了变化，所以1后面不再是2，1和4下面不再是7和10。要实现这个变化，只需要将2和5与7和10交换一下即可，这就是转置后的第一个矩阵块，如此重复，得到转置后的矩阵为：

[[[  1.   7.][  4.  10.]][[  2.   8.][  5.  11.]][[  3.   9.][  6.  12.]]]

四维矩阵

对于四维矩阵，我们可以先对中间两个维度进行转置，再对第一个和最后一个维度进行转置。
下面是一个形状为 $2\times 2\times 2\times 2$ 的矩阵：

[[[[ 1.  2.][ 3.  4.]][[ 5.  6.][ 7.  8.]]][[[ 9. 10.][11. 12.]][[13. 14.][15. 16.]]]]

我们先对中间两个维度转置，这样一来第一个维度就是不变的，所以我们可以将这个矩阵分成两个形状为 $2\times 2\times 2$ 的矩阵分别转置，然后再合并在一起。

跟对三维矩阵进行转置的步骤一样，对于每个矩阵来说，只有列维度是不变的，也就是说，1后面仍然是2，但1下面不能是3，1和3下面也不再是5和7。所以，我们只要把3和4与5和6交换一下即可，最终得到矩阵：

[[[[ 1.  2.][ 5.  6.]][[ 3.  4.][ 7.  8.]]][[[ 9. 10.][13. 14.]][[11. 12.][15. 16.]]]]

然后，我们要对第一个和最后一个维度进行转置，此时需要保证：1下面仍然是5，1和5下面仍然是3和7，1后面不再是2，1、5、3和7下面不再是9、13、11和15。所以，我们只需要将2、6、4、8与9、13、11、15交换一下即可，最终得到结果：

[[[[ 1.,  9.],[ 5., 13.]],[[ 3., 11.],[ 7., 15.]]],[[[ 2., 10.],[ 6., 14.]],[[ 4., 12.],[ 8., 16.]]]]