前言

本篇介绍插值法的最后一节，样条插值。

分段插值存在的问题

采用分段插值可以避免龙格现象，提升插值精度，但是分段插值的结果并不平滑。采用分段三次埃尔米特插值能够使得插值结果在节点附近相对平滑（没有突变点）。但是其平滑性也只是对于一阶导而言的。

为了让插值结果具有更好的平滑性，可以使用样条插值。

样条插值

对于待插值函数$f(x)$，已知节点$x_0,x_1,\dots ,x_n$处的函数值，将相邻两节点进行分段，获得n个插值小区间，在每个区间内使用k次多项式$S_i(x)$插值，使其满足插值条件与k-1阶平滑性：
$$\begin{gathered} S_i(x_i)=f(x_i),S_i(x_{i+1})=f(x_{i+1}),0\le i\le n-1(1) \\ {S}_i^{(j)}(x_{i+1})=S_{i+1}^{(j)}(x_{i+1}),0\le i\le n-2,1\le j\le k-1(2) \end{gathered}$$
将每段插值结果组合后，就是样条插值。

三次样条插值

比较常用的是三次样条插值法，即假设上面的$S_i(x)$是三次多项式：
$$S_i(x)=a_i+b_{i}x+c_i{x}^2+d_i{x}^3$$
由上式可知，一段三次样条含有4个未知数，则节点$x_0,x_1,\dots ,x_n$对应的三次样条含有4n个未知数。

每个节点$x_0,x_1,\dots ,x_n$都满足式（1），产生2n个等式。

每个节点$x_0,x_1,\dots ,x_n$都满足式（2），产生2(n-1)个等式。

因此，三次样条插值本身满足的条件只能形成4n-2个方程，少于未知参数量4n，必须添加额外条件：

自然边界：$S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)=0$
固定边界：$S^{\prime }(x_0)=c_1,S^{\prime }(x_n)=c_2$
周期样条：$S^{\prime }(x_0)=S^{\prime }(x_n),S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)$
Not-a-knot：$S^{\prime \prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime \prime }(x_1),S^{\prime \prime \prime }(x_{n-1})=S^{\prime \prime \prime }(x_n)$

实际上可以自行设定条件，只要能够额外产生两个方程。

样条插值与分段埃尔米特插值的区别

样条插值曲线本身是光滑的，因为样条需要满足节点插值条件和平滑性。

分段埃尔米特插值需要同时满足节点函数值与导数值。换言之，埃米尔特插值的平滑性是由给定的节点导数值决定的。

后记

终于把插值给搞完了。下篇就是拟合了。