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问题简单来说就是 a = ai (mod ni)   求未知数a,

以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:

设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有:  a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:

对于 a=ai  (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:

定义 mi = n1*n2*...nk / ni;   ci = mi(mf  mod ni);   其中 mi*mf  mod ni = 1;

则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck)      (mod n)      (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:

mi*mf  mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

代码如下:

#include#includeusing namespace std;

constintMAXN=100;

intnn, a[MAXN], n[MAXN];

integcd(inta,intb,int&x,int&y) {

intd;

if(b==0) {

        x=1; y=0;

        return a;

    }else{

        d=egcd(b, a%b, y, x);

        y-=a/b*x;

        return d;

    }

}

intlmes() {

inti, tm=1, mf, y, ret=0, m;

for(i=0; i

for(i=0; i

        m=tm/n[i];

        egcd(m, n[i], mf, y);

        ret+=(a[i]*m*(mf%n[i]))%tm;

    }

    return (ret+tm)%tm;

}

intmain() {

    a[0]=4; a[1]=5;

    n[0]=5; n[1]=11;

    nn=2;

    printf("%d\n", lmes());

    return0;

}

posted on 2007-08-27 16:46 豪 阅读(11090) 评论(2)  编辑 收藏 引用 所属分类: 算法&ACM