算法

  除了三大主流算法外，还有向量方程法，向量方程法，顾名思义，就是通过解方程的方式求矩阵的QR分解。其原理是把矩阵$A$按列向量分块，得到一系列方程，首先有：
$$\begin{gathered} A=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n) \\ Q=({\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2,\cdots ,{\mathbf{q}}_n) \\ R=\left(\begin{array}{ccccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1n}& \\ 0& r_{22}& \cdots & r_{2n}& \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ 0& 0& \cdots & r_{nn}& \end{array}\right) \\ ({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n)=({\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2,\cdots ,{\mathbf{q}}_n)\left(\begin{array}{ccccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1n}& \\ 0& r_{22}& \cdots & r_{2n}& \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ 0& 0& \cdots & r_{nn}& \end{array}\right) \end{gathered}$$
  所以展开后就有以下向量方程：
$$\begin{gathered} r_{11}{\mathbf{q}}_1={\mathbf{a}}_1 \\ {r}_{12}{\mathbf{q}}_1+r_{22}{\mathbf{q}}_2={\mathbf{a}}_2 \\ ⋮ \\ {r}_{1n}{\mathbf{q}}_1+r_{2n}{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{nn}{\mathbf{q}}_n={\mathbf{a}}_n \end{gathered}$$
  这个向量方程要从上到下解。首先第一个方程貌似有很多未知数，但是要知道正交矩阵的列向量，长度必须为1的，也就是要单位化，那么${\mathbf{q}}_1$就是单位化后的${\mathbf{a}}_1$了。对于第二个方程，需要左乘${\mathbf{q}}_1^T$，方程就变成了：
$$r_{12}{\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_1+r_{22}{\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_2={\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{a}}_2$$
  因为正交矩阵的列之间互相正交，所以${\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_2$就是0了，于是有：
$$r_{12}{\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_1={\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{a}}_2$$
  这样就求出了$r_{12}$，再代入，继续求出$r_{22}$。对于最后一个方程：
$$r_{1n}{\mathbf{q}}_1+r_{2n}{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{nn}{\mathbf{q}}_n={\mathbf{a}}_n$$
  左乘${\mathbf{q}}_i^T$,得到：
$$\begin{gathered} r_{1n}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_1+r_{2n}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{in}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_i+\cdots +r_{nn}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_n={\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{a}}_n \\ \Rightarrow r_{in}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_i={\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{a}}_n \end{gathered}$$
  但是得不到$r_{nn}$，这个值需要前面的求出来后再代入，才能得到。代入公式为：
$$r_{nn}{\mathbf{q}}_n={\mathbf{a}}_n-r_{1n}{\mathbf{q}}_1-+r_{2n}{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{n-1,n}{\mathbf{q}}_{n-1}$$
  这个算法比较机械，也比较容易实现。但是仔细研究，就会发现，具体算法和施密特正交化差不多。事实上，QR分解是唯一的，四种算法分解的结果都是一样的。

Python代码

  知道了算法之后，直接写代码迭代就完事了。代码如下：

    # 向量方程法QR分解def qr_equations(self):n = len(self.__vectors)q = Matrix([None] * n)r = Matrix([[0] * n for _ in range(n)])# 按列循环for column in range(n):# 先将之前的列代入r_n = r.__vectors[column]for i in range(0, column):q_i = q.__vectors[i]a_n = self.__vectors[column]r_n[i] = inner_product(q_i, a_n) / vector_len(q_i)# 最后求得自己a_i = self.__vectors[column]for i in range(0, column):a_i = sub(a_i, mul_num(q.__vectors[i], r_n[i]))# 求rnn 与qnr_n[column] = vector_len(a_i)q_i = mul_num(a_i, 1/r_n[column])q.__vectors[column] = q_ireturn q, r

测试数据

  向量方程法，可以分解任意阶矩阵，不限于方阵，如以下矩阵的分解：
$$\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 1\\ 1& 4& -2\\ 2& 1& -2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0.691& 0.425\\ 0.408& 0.653& -0.473\\ 0.816& -0.307& -0.143\\ 0.408& -0.038& 0.759\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2.449& 2.858& -2.041\\ 0& 4.34& -0.038\\ 0& 0& 2.415\end{array}\right)$$