小白学算法1.3——堆

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1.什么是堆

堆是一种特殊的树形数据结构，每个结点都有一个值。通常我们所说的堆是指二叉堆。

当一棵二叉树的每个结点都大于等于它的两个子结点时，它被称为堆有序。

根节点是堆有序的二叉树中最大的结点。

二叉堆（以下简称堆）是一组能够用堆有序的完全二叉树排序的元素，在数组中按照层级存储（一般不使用第一个位置），

• 下图是一个堆有序的完全二叉树：
  
• 堆一般用数组来存储其元素，因为索引方便快捷。由于一般不使用第一个位置，所以堆中元素起始下标为1，又因为二叉堆是完全二叉树，所以第k个结点的父结点为k/2，子结点为2k和2k+1
• 二叉堆从任意结点向下都能得到一个非递增的序列
• 二叉堆从任意结点向上都能得到一个非递减的序列

2.堆的实现与算法

当一个堆插入、删除或者改变某个结点的时候，这个堆的有序状态就被打破了，从被打破的状态回到有序状态的过程叫做堆的有序化。堆的所以算法都是为了堆的有序化。

2.1堆的上浮算法

当堆的底部加入结点或者某个结点的值增大的时候，需要用到堆的上浮算法。

void swim(int* a, int k)
{while(k > 1 && a[k/2] < a[k])//a[k]是子结点并且大于父结点{swap(a, k/2, k);k = k/2;}
}

2.2堆的下沉算法

当堆的顶部加入结点或者结点的值减小的时候，需要用到堆的下沉算法。

void sink(int* a, int n, int k)
{while(2*k <= n)//k至少有一个子结点{int j = 2*k;if (j < n && a[j] < a[j+1]) j++;//如果有两个子结点，取较大者if (a[k] < a[j]) swap(a, k, j);//如果子结点大于父结点k = j;}
}

3.总结

• 使用堆可以实现优先队列以及堆排序
• 如果堆的结点从0开始，那么结点k的父结点为(k-1)/2，子结点为2k+1和2k+2
• swim比较了一次，sink比较了两次