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青岛红岛做网站/免费网站站长查询

admin2025/6/8 23:58:45【news】

简介青岛红岛做网站,免费网站站长查询,广州企业如何建网站,企业网站建设毕业设计论文本文主要展示用sympy来求解扈志明老师《微积分B》课程的单元测试题二。其题型主要是求导数或微分，相对一般的课后习题要难，在此贴出求解过程，如下： 1，求曲线在点(0,1)处的切线方程？ 解：该点…

青岛红岛做网站,免费网站站长查询,广州企业如何建网站,企业网站建设毕业设计论文本文主要展示用sympy来求解扈志明老师《微积分B》课程的单元测试题二。其题型主要是求导数或微分，相对一般的课后习题要难，在此贴出求解过程，如下： 1，求曲线在点(0,1)处的切线方程？ 解：该点…

本文主要展示用sympy来求解扈志明老师《微积分B》课程的单元测试题二。其题型主要是求导数或微分，相对一般的课后习题要难，在此贴出求解过程，如下：

1，求曲线 $sin(x * y) + ln(y-x) = x$ 在点(0,1)处的切线方程？

解：该点坐标已知，只要求出该点切线方程的斜率，即曲线在该点的导数。

2，设函数 $f(x)=(e^{x}-1)(e^{2x}-2)(e^{3x}-3)\cdot \cdot \cdot (e^{nx}-n)$ ，其中n为正整数，则f'(0)=?

解：求归纳公式，该公式中包含阶乘。

1-2两题的Python求解过程如下：

很明显：第1题中的切线斜率为1；第二题的归纳公式为 $(-1)^{n-1}(n-1)!$ 。

3，设函数y=f(x)由方程 $y-x=e^{x(1-y)}$ 确定，求 $\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2}(f(\frac{1}{n})-1)=?$

解：将求极限转化为求导数

$\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2}(f(\frac{1}{n})-1)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\frac{(f(\frac{1}{n})-1)}{\frac{1}{n}}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\frac{(f(x)-1)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\frac{(f(x)-f(0))}{x-0}$

其中，将x=0代入原方程，可得y=0，也即f(0)=1。上式这个极限就等于

$\frac{1}{2}f'(0)$

在利用Python求隐函数的导数。

4，求参数方程的二阶导数（本题比较简单，python代码已反映了一般的计算过程）

3-4两题Python求解过程如下：

6，求对数螺线 $r=e^{\theta }$ 在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 对应点处的切线的直角坐标方程？

解：对数螺线又称为等角螺线，关于对数螺线，有很多有趣的说法，比如下文

http://www.360doc.com/content/15/0914/06/17817564_498983334.shtml

我在此先借用Python画出它的极坐标图像，再将极坐标方程转换为直角坐标方程，然后求导数方程，最后代入某点求解

上式就是它的直角坐标导数表达式，代入如下值：

$\theta =\frac{\pi }{2},x=rcos\theta=0,y=rsin\theta=r=e^{\frac{\pi }{2}},arctan\frac{y}{x}=\frac{\pi }{2}$

解得：

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x=\frac{\pi }{2}}=-1$

7，已知f(x)，g(x)互为反函数，且f(1)=2，g'(2)=2，g''(2)=1，求f''(1)=?

解：本题的关键是要理解函数的本质——集合X到集合Y的映射关系。

假设 $x\in X,y\in Y$

若 y = f(x) 表示从集合X到Y的映射关系；那么，它的反函数就表示从集合Y到集合X的映射关系，固有 x=g(y) 。下面就从这两个关系式出发，来求解

$\left\{\begin{matrix} y = f(x) \\ x = g(y) \end{matrix}\right.$

则

1)将下式代入上式，得

y = f[g(y)] ，这个表达式表示：从y开始经过两次映射又回到了y。

2）两边对y求导，得

$1\Leftarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}= \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}du=f'[g(y)]*g'(y)\Rightarrow f'[g(y)]=\frac{1}{g'(y)}$

又有f(1)=2，可得g(2)=1，代入上式可得：f'[g(2)] = f'(1) = 1 / g'(2) = 1 / 2

3）再次两边对y求导，得

$0= f''[g(y)]*g'(y)*g'(y)+f'[g(y)]*g''(y)\Rightarrow f''[g(y)]=-\frac{f'[g(y)]*g''(y)}{g'(y)*g'(y)}$

4）代入，得

$f''[g(2)]= f''(1)=-\frac{f'[g(2)]*g''(2)}{g'(2)*g'(2)}=-\frac{f'(1)*g''(2)}{g'(2)*g'(2)}=-\frac{1}{8}$

8，若连续函数f(x)满足条件

$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{ln(1+2x)}=2$ ，求f(0) = ?，f'(0) = ?

解：本题应用无穷小替换

首先由原条件极限表达式的极限存在可知：分母趋向于0，必然分子也趋向于0，即

$\lim_{x \to 0}f(x)=0,f(0)=\lim_{x \to 0}f(x)$

后一个等式是由连续函数的性质得到的。

所以，

$f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{2x}*\frac{1}{2}= \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{ln(1+2x)}\frac{1}{2}$

不难得出：f(0) = 0, f'(0) = 4

13，设a为实数，若函数

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{(x-1)^{a}}*cos(\frac{1}{x-1}), & x \neq 1\\ 0,& x = 1 \end{matrix}\right.$

在x = 1处可导，求a的取值范围。

解：主要利用函数的连续性质和导数存在性质两个条件

$\lim_{x \to 1}f(x)=\lim_{x \to 1}\frac{1}{(x-1)^{a}}*cos(\frac{1}{x-1})\Rightarrow \lim_{x \to 1}\frac{1}{(x-1)^{a}}\Rightarrow \lim_{u \to \infty }u^{a}$

条件二：

$\lim_{x \to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{1}{(x-1)^{a+1}}*cos(\frac{1}{x-1})\Rightarrow \lim_{x \to 1}\frac{1}{(x-1)^{a+1}}\Rightarrow \lim_{u \to \infty }u^{a+1}$