1.梯度是什么？

梯度:是一个向量，导数+变化最快的方向(学习参数的前进方向)

回顾机器学习

收集数据x。构建机器学习模型f，得到
$$f(x,w)=Y_{predict}$$
也就是说通过我们的模型计算之后会得到一系列的预测值

判断模型好坏的方法:
$$\begin{gathered} loss=(Y_{predict}-Y_{true}{)}^2->回归损失 \\ loss=Y_{true}\ast log(Y_{predict})->分类损失 \end{gathered}$$
目标:通过调整(学习)参数w，尽可能的降低loss。那么我们该如何调整w呢?

随机选择一个起始点W0,证过调整W0，让loss函数取到最小值。

w的更新方法：
1.计算w的梯度（导数）
$$\Delta w=\frac{f(w+0.0000001)-f(w-0.0000001)}{2\ast 0.0000001}$$
2.更新w
$$w=w-\alpha \Delta w$$
其中：

• △w<0，意味着w将增大
• △w>0，意味着w将减小

总结:梯度就是多元函数参数的变化趋势（参数学习的方向)，只有一个自变量时称为导数，多元的话就是偏导数。

2.偏导的计算

2.1 常见的导数计算

2.2 多元函数求偏导

3.反向传播算法

3.1 计算图和反向传播

计算图:通过图的方式来描述函数的图形

如J(a,b,c) = 3(a + bc),令u=a+v,v=bc,则有J(u)=3u

把它绘制成计算图可以表示为

绘制成计算图之后，可以清楚的看到向前计算的过程

之后对每个节点求偏导，可有：

对于反向传播，因为我们最终要求的是

• J对a的偏导
• J对b的偏导
• J对c的偏导

但是我们直接对a,b,c求偏导是没办法的，所以，根据上图，我们可以看出反向传播的过程就是一个从右往左的过程，自变量(a, b, c)各自的偏导就是连线上的梯度的乘积:
$$\frac{dJ}{du}=3$$
$$\frac{dJ}{db}=\frac{dJ}{du}\ast \frac{du}{dv}\ast \frac{dv}{db}=3\ast 1\ast c$$

$$\frac{dJ}{dc}=\frac{dJ}{du}\ast \frac{du}{dv}\ast \frac{dv}{dc}=3\ast 1\ast b$$

3.2 神经网络中的反向传播

3.2.1 神经网络的示意图

w1,w2,…,wn表示网络第n层权重
wn[i,j]表示第n层第i个神经元，连接到第n+1层第j个神经元的权重。

如：w3[2,1]：表示第三层的第二个神经元到第四层的第一个神经元的权重

3.2.2 神经网络的计算图

其中：

• △out：是根据损失函数对预测值进行求导得到的结果
• f函数：可以理解为激活函数

加入我们要求△out对w1[1,2]的偏导，可以看到下图

从w1[1,2]到△out有两个路径，分别是红色线和蓝色线，所以我们只需对绿色框内的两条路径乘积相加之后再与绿色框外面路径值相乘即可，结果如下：

公式分为两部分:

• 1.括号外:左边红线部分
• 2.括号内
  • 1.加号左边:右边红线部分
  • 2加号右边:蓝线部分

但是这样做，当模型很大的时候，计算量非常大

所以反向传播的思想就是对其中的某一个参数单独求梯度，之后更新，如下图所示:

计算过程如下：

更新参数之和继续反向传播

计算过程如下：

继续反向传播

计算过程如下：

以上过程就是对下面公式的拆解：

我们在去思考一下，我们反向传播的时候需要我们向前传播过程中计算出的结果，所以我们需要保留向前传播的痕迹，这一点在pytorch中将会有所体现。

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