您现在的位置是：主页 > news > 茂名做网站/2024年新闻时事热点论文

茂名做网站/2024年新闻时事热点论文

admin2025/6/3 3:40:12【news】

简介茂名做网站,2024年新闻时事热点论文,led灯外贸网站建设,企业网页页面欣赏第八章平稳随机过程遍历性 1.时间平均与空间平均对于随机变量，其加权平均实际上就是数学其期望，也就是 μEX∑k1Npkxk或μEX∫Rxp(x)dx\muEX\sum_{k1}^N p_kx_k或\muEX\int_\R xp(x)dx μEXk1∑Npkxk或μEX∫Rxp(x)dx 由Khinchin大数定律得&…

茂名做网站,2024年新闻时事热点论文,led灯外贸网站建设,企业网页页面欣赏第八章平稳随机过程遍历性 1.时间平均与空间平均对于随机变量，其加权平均实际上就是数学其期望，也就是 μEX∑k1Npkxk或μEX∫Rxp(x)dx\muEX\sum_{k1}^N p_kx_k或\muEX\int_\R xp(x)dx μEXk1∑Npkxk或μEX∫Rxp(x)dx 由Khinchin大数定律得&…

第八章平稳随机过程遍历性

1.时间平均与空间平均

对于随机变量，其加权平均实际上就是数学其期望，也就是
$μ=EX=∑k=1Npkxk或μ=EX=∫Rxp(x)dx\mu=EX=\sum_{k=1}^N p_kx_k或\mu=EX=\int_\R xp(x)dx$
由Khinchin大数定律得，独立同分布的随机变量 $X_i$ ，有 $1n∑i=1nXi→Pμ\frac1n \sum_{i=1}^n X_i\stackrel P\to \mu$ ，进而由Kolmogorov大数定律加强为几乎处处收敛。由此，对于一般的随机变量，可以通过多次观察取平均值估计均值，也就是其空间平均。

但对于随机过程的数学期望 $μ(t)\mu(t)$ ，受限于某些实际条件无法通过反复观察，即多次测量取空间平均，也就是说只有一个观测值，大数定律无法使用。因此利用随机过程的另一维度时间，考虑时间平均，并且只考虑宽平稳过程——二阶矩存在、均值函数为常数、自相关函数只与时间间隔有关。

对于离散型平稳随机过程 $X\boldsymbol X$ ，时间参数空间为 $Z^+$ ，取前 $n$ 个观测值的平均值为
$Xˉ=X0+X1+⋯+Xn−1n\bar X=\frac{X_0+X_1+\cdots+X_{n-1}}n$
如果存在一个随机变量 $τ\tau$ ，使得 $(Xˉn,n≥1)(\bar X_n,n\ge 1)$ 在均方意义下收敛于 $τ\tau$ ，即 $lim⁡n→∞E(Xˉ−τ)2=0\lim\limits_{n\to \infty}E(\bar X-\tau)^2=0$ ，则称 $τ\tau$ 为该随机过程的时间平均，简记为
$lim⁡n→∞Xˉn=τ\lim_{n\to \infty }\bar X_n=\tau$
如果离散型平稳随机过程 $X\boldsymbol X$ 的时间参数空间为 $Z\Z$ ，则类似取 $Xˉ=12n+1∑i=−nnXi\bar X=\frac{1}{2n+1}\sum\limits_{i=-n}^nX_i$ ，其均方收敛的随机变量为时间平均。

对于连续性平稳随机过程以积分代替求和，若 $X\boldsymbol X$ 的时间参数空间为 $[0, T]$ ，则定义时间平均为
$Xˉ=1T∫0TX(t)dt\bar X=\frac1T\int_0^T X(t)dt$
这里的积分，指的是均方可积，即对于积分 $∫0TX(t)dt\int_0^TX(t)dt$ ，分割求和为 $Sn=∑k=1nX(tk∗)(tk−tk−1)S_n=\sum_{k=1}^nX(t_k^*)(t_k-t_{k-1})$ ，这里 $t_k^*$ 是区间 $t_{k-1},t_k]$ ，如果存在一个随机变量 $ξT\xi_T$ 使得 $lim⁡max⁡k(tk−tk−1)→0E(Sn−ξT)2=0\lim\limits_{\max\limits_k(t_k-t_{k-1})\to 0}E(S_n-\xi_T)^2=0$ ，则称 $X (t)$ 在 $[0, T]$ 内均方可积，且 $∫0TX(t)dt=ξT\int_0^TX(t)dt=\xi_T$ 。

对于二阶矩过程 $X (t)$ ， $EX(t)<∞EX(t)<\infty$ ，如果 $∫0T∫0TE(X(s)X(t))dsdt<∞\int_0^T\int_0^TE(X(s)X(t))dsdt<\infty$ ，则 $X (t)$ 在 $[0, T]$ 内均方可积。

对于连续性随机过程 $X\boldsymbol X$ ，时间参数空间为 $[- T, T]$ ，则定义时间平均为
$Xˉ=12T∫−TTX(t)dt\bar X=\frac1{2T}\int_{-T}^T X(t)dt$
如果希望用时间平均代替空间平均，则希望有 $τ=μa.s.\tau=\mu \text{ a.s.}$ ，这就是均值遍历性，即平稳随机过程 $X\boldsymbol X$ 时间平均等于样本平均（空间平均）的性质。

2.均值遍历性

对于离散时间平稳随机过程 $X=(Xn,n≥0),EXn=μ,rX(k)=E(X0Xk)\boldsymbol X=(X_n,n\ge 0),EX_n=\mu,r_X(k)=E(X_0X_k)$ ，那么 $X\boldsymbol X$ 满足均值遍历性当且仅当
$lim⁡n→∞1n2∑k=1n(n−k)(rX(k)−μ2)=0\lim\limits_{n\to \infty} \frac1{n^2}\sum_{k=1}^n (n-k)(r_X(k)-\mu^2)=0$
这等价于 $X\boldsymbol X$ 满足均值遍历性当且仅当
$lim⁡n→∞1n∑k=1n(rX(k)−μ2)=0\lim_{n\to \infty }\frac 1n \sum_{k=1}^n (r_X(k)-\mu^2)=0$
由此推得，在以上假设下，如果 $rX(k)→μ2,k→∞r_X(k)\to \mu^2,k\to \infty$ ，则 $X\boldsymbol X$ 满足均值遍历性。注意此条件相当于随机过程渐进不相关，也就是随着时间差 $k$ 的增大，随机过程的自协方差趋近于0。

对于连续时间平稳随机过程 $X=(X(t),t≥0),EX(t)=μ,rX(t)=E(X(0)X(t))\boldsymbol X=(X(t),t\ge0),EX(t)=\mu,r_X(t)=E(X(0)X(t))$ ，那么 $X\boldsymbol X$ 满足均值遍历性当且仅当
$lim⁡T→∞1T2∫0T(T−t)(rX(t)−μ2)dt=0\lim_{T\to \infty}\frac1{T^2}\int_0^T(T-t)(r_X(t)-\mu^2)dt=0$
这等价于 $X\boldsymbol X$ 满足均值遍历性当且仅当
$lim⁡T→∞1T∫0T(rX(t)−μ2)dt=0\lim_{T\to \infty }\frac1T\int_0^T (r_X(t)-\mu^2)dt=0$
由此推得，在以上假设下，如果 $rX(T)−μ2→0,T→∞r_X(T)-\mu^2\to 0,T\to \infty$ ，则 $X\boldsymbol X$ 满足均值遍历性。

对于双边时间参数的平稳随机过程，满足均值遍历性的条件也大概相似。

Von Neumann遍历定理：假设 $X=(Xn,n≥0)\boldsymbol X=(X_n,n\ge 0)$ 是平稳随机过程，均值为 $μ\mu$ ，那么一定存在一个随机变量 $η\eta$ 使得 $Eη=μE\eta=\mu$ ，且
$1n∑k=0n−1Xk→L2η\frac1n \sum_{k=0}^{n-1}X_k\stackrel{L^2}\to \eta$
Garrett Birkhoff强遍历定理：假设 $X=(Xn,n≥0)\boldsymbol X=(X_n,n\ge0)$ 是强平稳随机过程，均值为 $μ\mu$ ，那么一定存在一个随机变量 $η\eta$ 使得 $Eη=μE\eta=\mu$ ，并且
$1n∑k=0n−1Xk→ηa.s.\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}X_k \to \eta \text{ a.s.}$