$\color{blue}{第六章 数理统计的基本知识}$

$\quad$数理统计是以概率论为基础,根据试验或观察得到数据,来研究随机现象.通过统计分析,对研究对象的客观规律性作出合理的估计和推断.

$\color{blue}{6.1 总体和样本}$

$\quad$在一个统计问题中,我们把所研究对象的全体称为一个${\color{blue}{总体}}$.总体中的每个元素(即每一个研究对象)称为${\color{blue}{个体}}$.

$\quad$若总体中包含有限个个体,则称这个总体为${\color{blue}{有限总体}}$,否则称为${\color{blue}{无限总体}}$,总体中所包含的个体总数称为${\color{blue}{总体容量}}$.

$\quad$在统计问题中，人们所关心的往往不是总体的一切方面,而是它的某一项数量指标X.因此,我们把这个数量指标X所有可能取值的全体就作为总体看待,称为总体X,X是一个随机变量.我们要根据试验或观察得到的数据来得到X的概率分布和数字特征,分别称为总体的分布和数字特征.

$\quad$大家知道,随机现象的统计规律性必然在大量的重复试验中呈现出来.为了推断总体X的性质,从理论上讲,应该对每一个个体逐一进行测试,然而实际上这样做往往是不现实的,例如,要研究灯泡寿命,由于寿命测试是破坏性的,当测试过每只灯泡的寿命后,这批灯泡就报废了.

$\quad$一般来说，恰当的方法是按照一定的规则从总体中抽取若干个个体进行测试,为了使测试到的数据能很好的反应总体的情况,当然应该${\color{blue}{要求总体中每一个个体被抽到的可能性是均等的，并且在抽取一个个体后总体的成分不改变}}$.这种抽取个体的方法称为${\color{blue}{简单随机抽样}}$.被抽出的部分个体,叫做总体的一个${\color{blue}{样本}}$.

$\quad假设我们从总体X中抽取n个个体进行测试(简单抽样),\\ 把测试结果分别记作X_1, X_2, \cdots, X_n.由于抽样的随机性\\ ,X_i可以取X所有可能的值,是与X具有同样分布的随机变量,\\ 且X_1, X_2, \cdots, X_n相互独立.这样的n个个体称为总体X的\\ 一个简单随机样本.$

${\color{blue}{定义：设X是具有某一概率分布的随机变量(看作一个总体).\\ 如果随机变量X_1, X_2, \cdots, X_n相互独立,且都与X具有相同\\ 的概率分布,则称n维随机变量(X_1, X_2, \cdots, X_n)为来自总体\\ X的简单随机样本,简称样本,n称为样本容量.\\ \quad 在对总体X进行一次具体抽样并作观测之后,得到样本(X_1, \\ X_2, \cdots, X_n)的确切的数值(x_1, x_2, \cdots, x_n),称为一个样本\\ 观测值(观察值),简称样本值. \\ \quad 样本(X_1, X_2, \cdots, X_n)所有可能取值的全体称为样本空间,\\ 它是n维空间或其中的一个子集.样本观察值(x_1, x_2, \cdots, x_n)是\\ 样本空间中的一个点.\\ \quad 如果总体X的分布函数为F(x),则X的样本X_1, X_2, \cdots, X_n\\ 的联合分布函数为\prod \limits _ {i=1}^n F(x_i).如果总体X为连续型且概率密度为\\ f(x),则样本(X_1, X_2, \cdots, X_n)的联合概率密度为 \prod \limits _ {i=1}^n f(x_i) }}$

$\color{blue}{\S 6.2 统计量及其分布}$

$\color{blue}{一、统计量}$

样本是总体的代表,是统计推断的依据.在应用时,往往不是直接使用样本本身,而是针对不同的问题构造样本的函数,来进行统计推断.

${\color{blue}{定义1.设(X_1, X_2, \cdots, X_n)是来自总体X的一个样本, \\ t=g(t_1, t_2, \cdots, t_n)为t_1, t_2, \cdots, t_n的一个单值实函数,\\ 并且其中不包含任何未知参数,\\ 则称T=g(X_1, X_2, \cdots, X_n)为一个统计量.}}$

${\color{blue}{设x_1, x_2, \cdots, x_n是相应于样本X_1, X_2, \cdots, X_n的样本值,\\ 则称g(x_1, x_2, \cdots, x_n)是统计量T=g(X_1, X_2, \cdots, X_n)的观察值.}}$

$\color{blue}{二、样本矩}$

$设(X_1, X_2, \cdots, X_n)是来自样本X的一个样本,\\ (x_1, x_2, \cdots, x_n)是样本观察值,定义:$
${\color{blue}{样本均值 \overline X}} = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^n X_i.$
${\color{blue}{样本方差S^2}} = \dfrac{1}{n-1} \sum \limits _ {i=1} ^n (X_i - \overline X)^2 = \dfrac{1}{n-1} [\sum \limits _ {i=1} ^ n X_i^2 - n \overline X^2 ]$
${\color{blue}{样本标准差(均方差) S}} = \sqrt{S^2} = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum \limits _ {i=1} ^ n (X_i - \overline X)^2}$
${\color{blue}{样本k阶(原点)矩 A_k}} = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^ n X_i^k (k = 1, 2, \cdots )$
${\color{blue}{样本k阶中心矩 B_k}} = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^ n (X_i - \overline X)^k ( k = 1, 2, \cdots )$
$A_1 = \overline X, B_1 = 0, B_2 = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^ n ( X_i - \overline X)^2 , S^2 = \dfrac{n}{n-1} B_2$

它们的观察值分别为:
$\overline x = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^n x_i,$
$s^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum \limits _ {i=1} ^n (x_i - \overline x)^2 = \dfrac{1}{n-1} [\sum \limits _ {i=1} ^ n x_i^2 - n \overline x^2]$
$s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum \limits _ {n=1} ^ n (x_i - \overline x)^2}$
$a_k = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^n x_i^k$
$b_k = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^ n (x_i - \overline x)^k$

$\color{blue}{三、顺序统计量}$

$定义2. (X_1, X_2, \cdots, X_n)是总体X的一个样本, (x_1, x_2, \cdots, x_n)是一个\\ 样本观察值,将它由小到大的顺序排列, 得到x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}, 取\\ x_{(i)}的观测值,由此得到的统计量X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}称为样本(X_1, X_2,\\ \cdots, X_n)的一组顺序统计量,X_{(i)}称为第i个顺序统计量或第i项.统计量$
$\widetilde{X} = \left \{ \begin{array}{l} X_{(m+1)}, 当n = 2m+1 \\ \dfrac{1}{2}(X_{(m)} + X_{(m+1)}), 当n = 2m \end{array} \right.$
$R_n = x_{(n)} - x_{(1)}$
$分别称为样本中位数和样本极差.$
$样本均值,顺序统计量的首项及末项,样本中位数描述了样本在数轴\\ 上的大致位置;样本方差与样本极差描述了样本的分散程度.$

$\color{blue}{\S 6.3 样本分布函数与频率直方图}$

$\color{blue}{一、样本分布函数}$

$样本能够反映总体X的信息,总体X的分布函数F(x)是否能由样本来表示?\\ 回答是肯定的,我们用下面介绍的样本来近似表示总体X的分布函数.$

$定义:设x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}是总体X的顺序统计量的一组观察值,\\ 对于任意的实数x,定义函数$
$F_n(x) = \left \{ \begin{array}{l} 0, x < x_{(1)}; \\ \dfrac{i}{n}, x_{(i)} \leq x < x_{(i+1)}, i = 1, 2, \cdots, n-1; \\ 1, x \geq x_{(n)} \end{array} \right.$
$称F_n(x)为总体X的样本分布函数(或经验分布函数)$

$例.设样本总体X, 取样n=7 (0.1, 0.3, 0.4, 0.2, 0.3, 0.2 , 0.5).$
$解:(0.1, 0.2, 0.2 0.3, 0.3, 0.4, 0.5)$
$F_7(x) = \left \{ \begin{array}{l} 0, x < 0.1 \\ \dfrac{1}{7}, 0.1 \leq x < 0.2 \\ \dfrac{3}{7}, 0.2 \leq x < 0.3 \\ \dfrac{5}{7}, 0.3 \leq x < 0.4 \\ \dfrac{6}{7}, 0.4 \leq x < 0.5 \\ 1 , x \geq 0.5 \end{array} \right.$

$样本分布函数F_n(x)不仅与样本容量n有关,还与所得到的样本\\ 观察值有关,故它是随机变量.F_n(x)的图形(图6-1)程跳跃上\\ 升的台阶状,在x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}中不重复的值处,跳跃高度\\ 为\dfrac{1}{n};在重复l次的值处,跳跃高度为\dfrac{l}{n}.图6-1中的曲线是总\\ 体X的理论分布函数F(x)的图形.$

$样本分布函数F_n(x)具有如下性质:\\ ①0 \leq F_n(x) \leq 1; \\ ②F_n(x)是单调不减函数; \\ ③F_n(x)是处处右连续的.$
$对于样本观察值(x_1, x_2, \cdots, x_n),为了求其对应的样本分布函数\\ F_n(x)之值,只需将这n个值中小于或等于x的个数除以样本容量n\\ 即可 .对于给定的x,F_n(x)是n次重复独立试验中事件\lbrace X \leq x \rbrace出\\ 现的频率,而理论分布函数F(x)是事件\lbrace X \leq x \rbrace发生的概率,由\\ 伯努利定理知,对任意给定的正数\varepsilon,有 \\ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} P\lbrace |F_n(x) - F(x) | < \varepsilon \rbrace = 1, \\ 即F_n(x)按概率收敛于F(x).进一步还有如下结论.$

$定理:(格利文科定理)设总体X的分布函数为F(x), \\ 样本分布函数F_n(x),则对于任何实数x,有\\ P\lbrace \lim \limits _ {n \rightarrow \infty} sup | F_n(x) - F(x) | = 0 \rbrace = 1$

$\color{blue}{二、频率直方图}$

$如果说样本分布函数是通过随机样本对总体分布函数的反映,\\ 那么下面介绍的频率直方图就是样本对总体概率密度函数的反\\ 映(假设总体是连续随机变量).\\ 依据总体X的一个样本观察值(x_1, x_2, \cdots, x_n)画直方图的\\ 一般步骤如下:\\ ①找出x_1, x_2, \cdots, x_n中最小值x_{(1)}于最大值x_{(n)}.\\ ②选择常数a、b(a \leq x_{(1)},b \geq x_{(n)}),在区间[a, b]内插入\\ k-1个分点;a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_{k-1} < t_k = b. \\ 用来对样本观察值进行分组.为了方便,可将区间[a, b]分成k等分,\\ 此时组距是\\ \Delta t = t_i - t_{i-1} = \dfrac{b-a}{k}, i = 1, 2, \cdots, k. \\ 组数k要选择适当.一般地说,当20 \leq n \leq 100时,取k为5 \sim 10; \\ 当n > 100时,取k为10 \sim 15. 通常取t_i比样本观察值精度高一位.\\ ③对于每个小区间(t_i, t_{i-1}],数出x_1, x_2, \cdots, x_n落入其中的个数\\n_i(称为频率),再算出频率f_i = \dfrac{n_i}{n}, i = 1, 2, \cdots, k. \\ ④在xoy平面上,对每个i,画出以(t_{i-1}, t_i]为底,以y_i=\dfrac{f_i}{\Delta t}(i = 1, 2, \\ \cdots, k)为高的矩形.这种图称为频率直方图,简称直方图.$
$直方图中第i个小矩形的面积y_i \Delta t = f_i（i= 1, 2, \cdots, k),k\\ 个小矩形的面积之和为1.$
$由于样本观察值的n个数值x_1, x_2, \cdots, x_n是总体x中独立抽取的,\\ 它们落入区间(t_{i-1}, t_i]的频率f_i近似等于随机变量X在该区间内取\\ 值的概率,即f_i \approx P\lbrace t_{i-1} < X \leq t_i \rbrace = p_i, i = 1, 2, \cdots, k, \\ 当X是连续随机变量,且概率密度为f(x)时,则有\\ f_i \approx \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(x) dx = p_i, i = 1, 2, \cdots, k. \\ 由此可见直方图在一定程度上反映了X的概率密度情况.$

$例1.某炼钢厂生产一种钢,由于各种偶然因素的影响,各炉钢的含硅量\\ 是有差异的,因而应该把含硅量X看成一个随机变量.现在记录了120\\ 炉正常生产的这种钢的含硅量的数据(百分数):$
$\begin{array}{l c c }0.86 & 0.83 & 0.77 & 0.81 & 0.81 & 0.80 \\ 0.79 & 0.82 & 0.82 & 0.81 & 0.81 & 0.87 \\ 0.82 & 0.78 & 0.80 & 0.81 & 0.87 & 0.81 \\ 0.77 & 0.78 & 0.77 & 0.78 & 0.77 & 0.77 \\ 0.77 & 0.71 & 0.95 & 0.78 & 0.81 & 0.79 \\ 0.80 & 0.77 & 0.76 & 0.82 & 0.80 & 0.82 \\ 0.84 & 0.79 & 0.90 & 0.82 & 0.79 & 0.82 \\ 0.79 & 0.86 & 0.76 & 0.78 & 0.83 & 0.75 \\ 0.82 & 0.78 & 0.73 & 0.83 & 0.81 & 0.81 \\ 0.83 & 0.89 & 0.81 & 0.86 & 0.82 & 0.82 \\ 0.78 & 0.84 & 0.84 & 0.84 & 0.81 & 0.81 \\ 0.74 & 0.78 & 0.78 & 0.80 & 0.74 & 0.78 \\ 0.75 & 0.79 & 0.85 & 0.75 & 0.74 & 0.71 \\ 0.88 & 0.82 & 0.76 & 0.85 & 0.73 & 0.78 \\ 0.81 & 0.79 & 0.77 & 0.78 & 0.81 & 0.87 \\ 0.83 & 0.65 & 0.64 & 0.78 & 0.75 & 0.82 \\ 0.80 & 0.80 & 0.77 & 0.81 & 0.75 & 0.83 \\ 0.90 & 0.80 & 0.85 & 0.81 & 0.77 & 0.78 \\ 0.82 & 0.84 & 0.85 & 0.84 & 0.82 & 0.85 \\ 0.84 & 0.82 & 0.85 & 0.84 & 0.78 & 078 \end{array}$
$试根据这些数据作出直方图,并根据直方图估计含硅量X的分布.$
$解:①从n=120个数据中找出最小值x_{(1)} = 0.64及最大值x_{(120)}=0.95.$
$②取a = 0.635, b= 0.955,分k = 16组,组距\Delta t = \dfrac{0.955 - 0.635}{16} = 0.02.$
$③分组及频率如表6-1所示.表中的组中值\\ \bar {t_i} = \dfrac{t_{i-1} + t_i}{2}(i = 1, 2, \cdots, 16)将会在第八章第五节用到.$
表6-1
$\begin{array}{l | c c }\hline 分组(t_{i-1}, t_i] & 频数 & 组中值 & \\ \hline 0.635 \sim 0.655 & 2 & 0.645 \\ 0.655 \sim 0.675 & 0 & 0.665 \\ 0.675 \sim 0.695 & 0 & 0.685 \\ 0.695 \sim 0.715 & 2 & 0.705 \\ 0.715 \sim 0.735 & 2 & 0.725 \\ 0.735 \sim 0.755 & 8 & 0.745 \\ 0.755 \sim 0.775 & 13 & 0.765 \\ 0.775 \sim 0.795 & 23 & 0.785 \\ 0.795 \sim 0.815 & 24 & 0.805 \\ 0.815 \sim 0.835 & 21 & 0.825 \\ 0.835 \sim 0.855 & 14 & 0.845 \\ 0.855 \sim 0.875 & 6 & 0.865 \\ 0.875 \sim 0.895 & 2 & 0.885 \\ 0.095 \sim 0.915 & 2 & 0.905 \\ 0.915 \sim 0.935 & 0 & 0.925 \\ 0.935 \sim 0.955 & 1 & 0.945 \\ \hline \end{array}$
$④以横轴x轴表示含硅量,\\ a = t_0 = 0.635, t_1 = 0.655, \cdots, t_{15} = 0.935, b= t_{16} = 0.955, \Delta t = 0.02, \\ 取纵坐标的单位长度为\dfrac{1}{n \cdot \Delta t} = \dfrac{1}{2.4}, \\ 则直方图中第i个矩形的高度\\ y_i = \dfrac{f_i}{\Delta t} = \dfrac{n_i}{n} \cdot \dfrac{1}{\Delta t} = \dfrac{n_t}{n \cdot \Delta t} = \dfrac{n_i}{2.4}, \\ 正好是n_i(i = 1, 2, \cdots, 16)个单位.$
$有了直方图，就可以大致画出X的概率密度曲线,从图上看,\\ 曲线很像正态分布的概率密度曲线.$

$\color{blue}{\S 6.4 几个常用的统计量的分布}$

统计量是样本的函数,它是一个随机变量,下面介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布.

$\color{blue}{一、\boldsymbol{\chi^2}分布}$

$1.定义:设X_1, X_2, \cdots, X_n是来自正态总体N(0, 1)的样本,\\ 则称统计量: \boldsymbol{\chi^2} = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \\ 服从自由度为n的 \boldsymbol{\chi^2} 分布,记作 \boldsymbol{\chi^2} \sim \boldsymbol{\chi^2}(n).$

$2.\boldsymbol{\chi^2}(n)分布的概率密度(不证):$
$f(x) = \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})}} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{n}{2}}, x > 0 \\ 0, x \leq 0 \end{array} \right.$
$其中\Gamma(\frac{n}{2})为\Gamma 函数 \Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} dx (x > 0) \\ 在s = \dfrac{n}{2}处的函数值.$
$[\Gamma(s + 1) = s \Gamma(s), \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}, \Gamma(n+1) = n!, \Gamma(1) = 1]$

$3. \boldsymbol{\chi^2}(n)分布的性质$
$性质1:设\boldsymbol{\chi^2} \sim \boldsymbol{\chi^2}(n),则E(\boldsymbol{\chi^2}) = n, D(\boldsymbol{\chi^2}) = 2n$
$证: 因 X_i \sim N(0, 1),E(X_i^2) = 1, D(X_i) = 1. \\ E(X_i^4) = E(X^4) = \int _{-\infty}^{+\infty} x^4 \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^ {-\frac{x^2}{2}} dx = 3. \\ D(X_i^2) = E(X_i^4) - [E(X_i^2)]^2 = 2. \\ E(\boldsymbol{\chi^2}) = \sum \limits _ {i=1} ^ n E(X_i^2) = n, \\ D(\boldsymbol{\chi^2}) = \sum \limits _ {i=1} ^ n D(X_i^2) = 2n$

$性质2:设X \sim \boldsymbol{\chi^2}(n_1), Y \sim \boldsymbol{\chi^2}(n_2),且X与Y相互独立,\\ 则X+Y \sim \boldsymbol{\chi^2}(n_1 + n_2).$

$性质3:设X \sim N(\mu, \sigma^2), X_1, X_2, \cdots, X_n为X的样本,\\ 则\dfrac{1}{\sigma^2} \sum \limits _ {i=1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \boldsymbol{\chi^2}(n)$
$证: \dfrac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1),由定义, 有$
$\dfrac{1}{\sigma^2} \sum \limits _ {i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum \limits _{i=1}^n (\dfrac{X_i - \mu}{\sigma})^2 \sim \boldsymbol{\chi^2}(n)$

$性质4: 设\boldsymbol{\chi^2} \sim \boldsymbol{\chi^2}(n),则对任意实数x,有$
$\lim \limits _ {n \rightarrow \infty} P\lbrace \dfrac{\boldsymbol{\chi^2} - n}{\sqrt{2n}} \leq x \rbrace = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int _{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$

$4.\boldsymbol{\chi^2}(n)分布的上\alpha分位点:$
$设\boldsymbol{\chi^2} \sim \boldsymbol{\chi^2}(n),对于给定的正数\alpha(0 < \alpha < 1), 称满足条件$
$P\lbrace \boldsymbol{\chi^2} > \boldsymbol{\chi^2} _ {\alpha} (n)\rbrace = \int _ {\boldsymbol{\chi^2} _{\alpha} (n)} ^{+\infty} f(x) dx = \alpha$
$的点\boldsymbol{\chi^2}_{\alpha} (n)为 \boldsymbol{\chi^2}(n)分布的上 \alpha 分位点.$
$例如:取\alpha = 0.1, n = 25, 则查附表4(P395)有\boldsymbol{\chi^2}_{0.1}(25) = 34.382.$

$\color{blue}{二、t分布(学生分布)}$

$1.定义:设X \sim N(0, 1), Y \sim \boldsymbol{\chi^2}(n), 且与X独立,\\ 则称随机变量$
$\qquad t = \dfrac{X}{\sqrt{\dfrac{Y}{n}}}$
$服从自由度为n的t分布,记作 t \sim t(n).$

$2.t(n)分布的概率密度(不证):$
$f(x) = \dfrac{\Gamma(\dfrac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi} \Gamma(\dfrac{n}{2})} (1 + \dfrac{x^2}{n})^{\frac{n+1}{2}}, -\infty < x < +\infty$

$3.性质:t(n)分布的概率密度关于y轴对称,且$
$\lim \limits _ {n \rightarrow \infty} f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, -\infty < x < +\infty$

$4.t(n)分布的上\alpha 分位点:$
$设t \sim t(n),对于给定正数\alpha(0 < \alpha < 1),称满足条件\\ P\lbrace t > t_{\alpha}(n) \rbrace = \alpha的点t_{\alpha}(n)为t(n)分布的上\alpha 分位点,且有$
$\quad -t_{\alpha}(n) = t_{1-\alpha}(n), t_{\alpha}(n) \approx \mu_{\alpha}$

$\color{blue}{三、F分布}$

$1.定义:设X \sim \boldsymbol{\chi^2}(m), Y \sim \boldsymbol{\chi^2}(n),\\ 且X与Y独立,则称随机变量$
$F = \dfrac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}$
$为服从自由度是m,n的F分布,记作F \sim F(m,n), \\ 其中m称为第一自由度,n称为第二自由度.$

$2.F(m,n)分布的概率密度为$
$f(x) = \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{\Gamma(\dfrac{m+n}{2})}{\Gamma(\dfrac{m}{2}) \Gamma(\dfrac{n}{2})} (\dfrac{m}{n})^{\frac{m}{2}} x^{\frac{m}{2} - 1} (1 + \dfrac{m}{n} x)^{-\frac{m+n}{2}}, x > 0 \\ 0, x \leq 0 \end{array} \right.$

$3.F(m,n)分布的性质:$
$若F \sim F(m,n),则\dfrac{1}{F} \sim F(n, m).$

$4.F(m,n)分布的上\alpha分位点:$
$设F \sim F(m,n),对于给定正数\alpha(0 < \alpha < 1),称满足条件\\ P\lbrace F > F_{\alpha}(m,n) \rbrace = \alpha的点F_{\alpha}(m,n)为F(m, n)分布的\\ 上\alpha 分位点,且有：F_{1 - \alpha}(m,n) = \dfrac{1}{F_{\alpha}(m,n)}$

$\color{blue}{\S 6.5 正态总体统计量的分布}$

本节介绍来自正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布.这是参数估计与假设检验的基础.

$定理1.设X \sim N(\mu, \sigma^2), X_1, X_2, \cdots, X_n为来自总体X的样本,则\\ \overline X = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {i=1} ^n X_i \sim N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}),$
$\dfrac{\overline X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

$定理2.\dfrac{1}{\sigma^2} \sum \limits _ {i=1} ^n (X_i - \mu)^2 \sim \boldsymbol{\chi^2}(n)$

$定理3.设X_1, X_2, \cdots, X_n是正态总体N(\mu, \sigma^2)的一个样本,\\ 则样本均值\overline X 与样本方差S^2相互独立,且有\\ \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \boldsymbol{\chi^2}(n-1)$

$定理4.设X_1, X_2, \cdots, X_n是正态总体N(\mu, \sigma^2)\\ 的样本,\overline X 与 S^2分别为样本均值与样本方差,则有\\ \dfrac{ \overline X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
$证:由 \dfrac{\overline X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1), \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \boldsymbol{\chi^2}(n-1), 则有\\ \dfrac{\dfrac{\overline X - \mu}{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}/n-1}} \sim t(n-1)$

$定理5.设总体X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), 总体Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2),\\ 且X与Y独立.X_1,X_2, \cdots, X_m与Y_1, Y_2, \cdots, Y_n分别\\ 为来自总体X与总体Y的样本,且这两组样本相互独立.\\ \overline X = \dfrac{1}{m} \sum \limits _ {i=1} ^ m X_i, \overline Y = \dfrac{1}{n} \sum \limits _ {j=1} ^n Y_j, \\ S_1^2 = \dfrac{1}{m-1} \sum \limits _ {i=1} ^ m (X_i - \overline X)^2, \\ S_2^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum \limits _{j=1}^n (Y_j - \overline Y)^2, 则有 \\ (i) \overline X - \overline Y \sim N(\mu_1 - \mu_2, \dfrac{\sigma_1^2}{m} + \dfrac{\sigma_2^2}{n}), \\ \mu = \dfrac{(\overline X - \overline Y) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{m} + \dfrac{\sigma_2^2}{n} }} \sim N(0, 1) \\ (ii) 若\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2, 则\\ t = \dfrac{\overline X - \overline Y - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w \sqrt{\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n}}} \sim t(m+n-2), \\ 其中S_w^2 = \dfrac{(m-1)S_1^2 + (n-1)S_2^2}{m+n-2}, S_w = \sqrt{S_w^2} \\ (iii) F = \dfrac{n\sigma_2^2}{m\sigma_1^2} \dfrac{\sum \limits _ {i=1}^m (X_i - \mu_1)^2}{\sum \limits _ {j=1}^n (Y_j - \mu_2)^2} \sim F(m, n) \\ (iv) F = \dfrac{\sigma_2^2 S_1^2}{\sigma_1^2 S_2^2} \sim F(m-1, n-1)$

$例1.从总体N(52, 6.3^2)中随机抽取一容量为36的样本,\\ 求样本均值\overline X 落在50.8到53.8之间的概率.$
$解:n = 36, \mu = 52, \sigma = 6.3.由\dfrac{\overline X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1), \\ 即 \mu = \dfrac{\overline X - 52}{6.3} \times 6 \sim N(0, 1),得所求概率为\\ P\lbrace 50.8 < \overline X < 53.8 \rbrace \\ = P\lbrace \dfrac{50.8 - 52}{6.3} \times 6 < \dfrac{\overline X - 52}{6.3} \times 6 < \dfrac{53.8 - 52}{6.3} \times 6 \rbrace \\ = P\lbrace -1.14 < \mu < 1.71 \rbrace \\ = \Phi(1.71) - \Phi(-1.14) \\ = \Phi(1.71) + \Phi(1.14) - 1 \\ = 0.9564 + 0.8729 - 1 \\ = 0.8293$

$例2.设X_1, X_2, \cdots, X_{10}为总体N(0, 0.09)的一个样本,\\ 求P\lbrace \sum \limits _ {i=1}^{10} X_i^2 > 1.44 \rbrace$
$解:由 \dfrac{X - 0}{0.3} \sim N(0, 1), \dfrac{X_i}{0.3} \sim N(0, 1),\dfrac{1}{0.3^2} \sum \limits _ {i=1} ^ {10} X_i^2 \sim \boldsymbol{\chi ^2 }(10), \\ 则有\\ P\lbrace \sum \limits _ {i=1} ^ {10} X_i^2 > 1.44 \rbrace = P\lbrace \dfrac{1}{0.3^2} \sum \limits _ {i=1} ^ {10} X_i^2 > \dfrac{1.44}{0.3^2} \rbrace \\ = P\lbrace \boldsymbol{\chi ^2}(10) > 16 \rbrace \\ = 0.10 (查 \chi^2(n)表394页)$

$例3.设总体X \sim N(0, \sigma^2),样本X_1, X_2, \cdots, X_6, \\ 设Y=(X_1 + X_2 + X_3)^2 + (X_4 + X_5 + X_6)^2, \\ 求C,使CY服从\chi^2分布,并求自由度.$
$解:由X_i \sim N(0, \sigma^2),有X_1 +X_2 + X_3 \sim N(0, 3\sigma^2), \\ X_4 + X_5 + X_6 \sim N(0, 3\sigma^2), \\ Y_1 = \dfrac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3} \sigma} \sim N(0, 1), \\ Y_2 = \dfrac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt{3} \sigma} \sim N(0, 1), \\ 由独立性有Y_1^2 + Y_2^2 \sim \chi^2(2),取C = \dfrac{1}{3\sigma^2}, \\ 有CY = Y_1^2 + Y_2^2 \sim \chi^2(2), 自由度为2.$