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数 列 的通 项

一

杭州外国语学校 徐国君

文[1]中提出了一种称为 “常数消去法”妙求形如

3 不动点法

n一 的通项．

C ’n 一1十 求 设函数厂(z)一嚣 (c≠0，n一曲≠0)．若数列

1 常数消去法回顾

{口)满足递推关系 口一厂(口一)，即 口一 ．

设平移替换an：Cn+，则有c一爱 给定初始值 n≠厂(n)．接下去我们就可以利用函数

厂(z)的不动点来求解数列{n)的通项公式．

一 等 ． 下面求函数 厂(z)的不动点．

令6+(n— )户一cp一0， ①

设 ．厂(z)一z，即 一z，化简可得 czz+ (d

设 P。是方程①的一个根 ，则有 CX 1-口

ma)Xm6—0，我们可以发现这个方程就是常数消去

： 二 妻!!!=

c·c一1+ +co’ 法中的方程①．

再对方程②两边取倒数 ，得 定理 1 若函数 厂(z)有两个相异的不动点P、q，

即方程 CX。+(—n)z一6—0有两个相异实根P、q．则

一 拿． +_(÷， ③

有数列』an--pl是以 为首项，k为公比的等比

令6一 ，A：尘 B一 — 』_ In — gJ 01一 q

， ， 则有

L “ o “ Fo 数列．

b=Ab一1+B． ④

证 明 ： 口 一 P 一 一

而对于形如④ 的递推关系的求解通项的方法大

家都已经清楚，从而可以先利用④求得 b，再求得 C， 一 二! !=±二 一 二 !=±!坌：二垒

C ·n 1+d C ·n 1+d

最后求得 n．

该法的关键一步是方程①的出现 ，笔者把它叫做 一 C’n 二l (其中，由 z+(一。)一6—0，

一 1十 ‘ ‘

递推关系n一 的特征方程．并且讨论 了在 得 6一dp=cp。一ap)，

C ’n … 11-口

方程有解，即在 △一 (n— )。+4cb≥0的前提下该方 同理可得n一g一 芝 ，

法的实施．在此笔者提出疑问：(1)该