1概念

如果你有一个电路，并通入电流，则电路会产生磁场，电路中电流发生改变，则磁场发生变化，电路中就会产生感生电动势来抵抗磁通的变化，我们用自感来描述这种能力。
$${\varphi }_{{}_{{}_B}}=LI（1）$$
$$E=-\frac{d{\varphi }_{{}_B}}{dt}=-\frac{LdI}{dt}（2）$$
假设有一个螺线管如下图，通入电流I，半径为r，圈数为N，长度为L

通过安培定律可以推导出
$$B=\frac{U_{0}IN}{l}（3）$$
$${\varphi }_B=\frac{\pi r^{2}N{U}_{0}IN}{l}=LI（4）$$
$$L=\pi r^2\frac{N^2}{l}{u}_0（5）$$
假设线圈有2800匝，半斤为5cm，长度为0.6m，则自感为0.6H，H如Vsec/A,在计算中真空磁导率$u_0$=4$\pi$*$10^{-7}$。$u_0$的单位使H/m,也可以写Vsec/Am。

1.1闭合

上图为一个串连电感和电阻的电路，当t=0我闭合电路，电路没有电流，电感阻止电流变化，下图为通电后电流变化。

在正常的教科书中通常用基尔霍夫定理，然后其实有磁通的变化要用法拉第电磁感应才是正确的做法。
$$\oint E\cdot dl=\frac{d\varphi }{dt}=-\frac{Ldi}{dt}（6）$$

这幅图中显示了各个元器件中的电场，其中电感的电场变化为0，这是大多数教材中错误的地方。$-L\frac{dI}{dt}$应该在法拉第电磁感应方程一侧，不应该算在电感的电场变化。起中最好沿电流方向因为这样产生的感应电动势EMF为$-L\frac{dI}{dt}$。不然要思考符号。
$$0+IR-V=-\frac{LdI}{dt}（7）$$
上述方程是唯一正确的方程运用了法拉第电磁感应定律。将上述方程变形。
$$V-L\frac{dI}{dt}=IR（8）$$
这样书写的好处是$\frac{dI}{dt}$是正向的随着时间而增大，注意第二项总与电池电压反向，这是楞次定律的含义，下列为方程的解，其中$i_{max}=V/R$，这里是一阶线性非齐次方程求解，准确解法可看同济大学高数书下册278页。
$$I=I_{\max }\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)（9）$$
当t=$\frac{L}{R}$时电流约为最大值的0.63，为1-$\frac{1}{e}$

1.2 分开

上图后半部分为瞬间断开的电流变化，随着电流减少，热量在电阻中以$I^{2}R$焦耳每秒速度产生。当到某个时刻电流为0，过程结束，我们可以精确的计算出时间函数，在过程中将上面微分方程中v变为0。
$$L\frac{dI}{dt}+IR=0（10）$$

$$I=I_{max}{e}^{-\frac{R}{L}t}（11）$$
可以求出在上式中当t=0，i最大，i趋于0,当L/R秒，I为最大值的37%。减少的电流产生的能量是磁场中原本的能量。任何时刻电流都在电阻中产生能量。
$${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=I_{max}^2{\int }_0^{\infty }{e}^{\frac{-2R}{L}}dtR=I_{max}^2\frac{L}{2R}R=\frac{L{I}_{max}^2}{2}（12）$$
上式可以二次转换，下列式13,14带入12，可得15公式
$$B=\frac{u_{0}IN}{L}(13)$$
$$L=\pi r^2\frac{N^2}{l}{\mu }_0(14)$$
$$\frac{L{I}_{max}^2}{2}=\frac{B^2}{2{\mu }_0}\pi r^{2}l（15）$$
这可以看出$\pi r^{2}l$为螺线管体积，则左侧为电磁能量密度，同时前面也算过电场的能量密度为$\frac{ϵ\kappa E^2}{2}$d单位也是焦耳每立方米，在电场情形下，他代表分配电荷到特定分布所需要的功。磁感代表让一个电流流过纯自感所需要的功，纯自感代表电阻为0，它做功因为电感会抵抗电流的形成，所以我必须做功，两个之间有相似的东西。

2.1案例

上图中电感为30H, 则上式中L/R=30/10=3,则3s后电流为$1-\frac{1}{e}$为0.63，即使6s后电流为$1-\frac{1}{e^2}$为0.86。此时功率也只为下面电流的74%。9s后也只为最大值的90%。

3交流电路中电感

交流电电压如下(16)，最后可以解出如17的公式。
$$V=V_0\cos (\omega t)（16）$$
$$I=\frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}}\cos (\omega t-\varphi )（17）$$
$$\tan \varphi =\frac{wL}{R}(18)$$
在下面方程19中写出了最大电流,其中$\omega L$单位使电阻，在意义上也代表中电阻

$$I=\frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}}(19)$$

3.1 案例

如图所示两个线圈可以解释磁悬浮的原理，上方线圈被通入60HZ的交流电，在通电过程中，在上方线圈电压增大时，磁通增大，瞬时下方EMF与上发线圈电压方向相反，如没有大电感，产生斥力。但是当上方电压下降则会产生吸力如下图所示

当红色线圈中电流增大，下方产生瞬时EMF是与之相反的，当电流减少，瞬时EMF为正。当蓝色导体电流与电压没有相位差时，一半时间相互吸引，一半时间相互排斥。
如果因为电感有一半时间存在相位差，则如下图，所有时间都是排斥

在下图条件中线圈因自感有25度相位差，则产生的力平均为阻力，当将导体圆环放入可以平衡，但是当导体有裂缝时，导体中EMF不变但，导体的$wL/R$因R无穷大没有相位差，一半时间吸引，一半时间排斥，但是感应电流很小，吸引力和排斥力都接近于0.