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　　这一节，我将从半群开始介绍，逐渐引入群的基本概念和性质。

　　在介绍群的概念之前，我们先认识其前置概念：半群。

一、半群

1、定义

　　若代数系统

中“∘”运算满足

，则称

为

　　若该半群的运算满足交换律，那么称该半群为可交换半群。对于可交换半群，我们有时采用“+”作为运算的符号。

2、举例：

(1)对任意集合

，

，

均为半群。

(2)由集合

到

的全体映射构成的集合

，在映射的复合运算下构成半群

。

(3)全体偶数在乘法意义下构成半群

。

3、半群的幂和指数律

　　在半群

中，若

，

，我们定义

（共n个）。

　　那么，我们有以下指数律成立：①

；②

。

　　对于可交换半群，我们还有第三条指数律成立：

。

4、幺半群

　　若半群

中存在单位元，即

使得

，则称

为

5、子半群

　　对半群

，若

使得

也为半群，则称

为

的

二、群的基本概念

1、定义

　　若某幺半群的各元素均存在逆元，则其为群。也即对代数系统

，我们称之为

(1)结合律成立：

，

；

(2)存在单位元：

使得

；

(3)存在逆元：

使得

。

注：注意到，这三项条件不是相互独立的，(2)可以由(1)(3)推出，但是由于使群的性质更清晰我们同样将(2)作为群定义的条件之一。

2、交换群

　　如果群

的运算

满足交换律，那么称这个群为

3、群的阶

　　若群

中只含有有限个元素，称其为

，其元素个数称为

的阶；对无限群，我们规定其阶为

。群

的阶采用

表示。

4、子群

　　对群

，若

使得

也为半群，则称

为

的

。

　　以上是群的基本概念，现在我们来看几个群的简单性质。当然，也可以将其作为练习题，尝试证明一下(๑*◡*๑)。

三、群的简单性质

1、群满足消去律。

证明：

.右消去律同理。

2、单位元

是

证明：若

为幂等元，则

，从而

即

。

3、群同态保持单位元/逆元。

根据群的保运算性即证。

四、群的判定定理

　　除了群的定义，还有其它的一些定理可以用来判定一个代数系统是否为群。常见的大概有以下几种。

1、群的满同态是群

　　设

为群，

为代数系统，若存在

到

的满同态，则

为群。

2、含有左单位元、左逆元的半群是群

3、线性方程可解的半群是群

　　设

是一个半群，若

，方程

,

恒有解，则

是一个群。

4、消去律成立的半群是群

五、用运算表研究低阶群

　　在本段的最后，我们来研究一下如何用运算表去研究低阶群，以及其内含的性质。

　　以下是四阶及以下的群的运算表表示。

　　注意到，一阶、二阶、三阶群只有一种，因此我们可以说：所有三阶群相互同构（一阶、二阶也是）。

　　同时注意到，所有的运算表关于主对角线对称。这些群都是交换群。

　　更一般地，在每行（列）中各个元素均恰出现一次。我们可以把这个结论推广到一般情况：

定理：

　　设

是一个有限群，则其运算表中每一行（列）都是

中元素的一个

证明：设

中全部元素为

,任取一行（列），若有两项相同，即

，则由消去律，

，矛盾。

　　从下一节开始，我将逐步介绍几种具有特殊性质的群，并介绍与这些群相关的概念。希望自己不会懒惰(^し^)