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满意答案

mei771015

推荐于 2017.11.25

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在三维空间中，两个向量的乘积(向量积，外积，乘积，区别于两个向量的数乘：内积，点积)表示两个向量的扭矩，而三个向量的混合积A×B·C，则表示由三个向量A,B,C所构成的平行六面体的面积。而且在混合积中A,B,C的位置是可以互换的(这个很容易证明)，这也符合我们的经验。那么问题来了？

1)3个或者N>3个三维向量相乘如何定义？A×B×C×D....因为A×B是有定义的，A×B是向量，那么只要继续乘就可以了，这也说明3维向量相乘，向量个数不是问题；

2)向量个数不是问题，那4维向量的两个向量相乘呢？

设A=(a1,a2,a3,a4),B=(b1,b2,b3,b4) A*B=(x1,x2,x3,x4)则满足如下方程组：

① A·(A*B)=0

② B·(A*B)=0

③ |A*B|=|A|*|B|sinθ。

这是一个4元二次方程组，但只有3个方程组，显然解不是一个。这说明A*B在4维空间，如果按垂直来定义，无法唯一确定，其结果是一个面(受限的)。

类似的，扩展到n维空间，方程组还是只有3个。结果是n-2维体(面)(受限于方程)。

下面推广n维向量的

n-1个向量积：A1*A2*...A(n-1)·；

混合积:A1*A2*...A(n-1)·An.

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