题目

题目描述

第二类斯特林数$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}$表示把$n$个不同元素划分成$m$个相同的集合中（不能有空集）的方案数
给定$n$，对于所有的整数$i\in [0,n]$，你要求出$\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}$
由于答案会非常大，所以你的输出需要对$167772161$（$2^{25}\times 5+1$，是一个质数）取模

输入格式

一行一个正整数$n$，意义见题目描述

输出格式

共一行$n+1$个非负整数
你需要按顺序输出$\left\{\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right\},\dots ,\left\{\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right\}$的值

样例

样例输入

3

样例输出

0 1 3 1

数据范围与提示

对于$20\%$的数据，$n⩽1000$
对于$100\%$数据，$1⩽n⩽2\times 10^5$

题解

不会斯特林数的戳我
$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\frac{1}{m!}\sum _{i=0}^m(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})(m-i{)}^n=\frac{1}{m!}\sum _{i=0}^m(-1{)}^i\frac{m!}{i!(m-i)!}(m-i{)}^n=\sum _{i=0}^m\frac{(-1{)}^i}{i!}\frac{(m-i{)}^n}{(m-i)!}$
看，这是什么？是不是一个漂亮的卷积式？
还没看出来？设$f(x)=\sum _{i⩾0}\frac{(-1{)}^i}{i!}{x}^i,g(x)=\sum _{i⩾0}\frac{i^n}{i!}{x}^i$，则$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}$就是$f(x)$和$g(x)$的卷积
所以，我们就可以愉快地使用逆天塔（NTT）了！
附上代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=167772161,g=3;
int n,len=1,ln,r[800010],cj[800010],a[800010],b[800010];
int POW(int a,int b)
{int ans=1;for(;b;b>>=1){if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;a=1ll*a*a%mod;}return ans;
}
void NTT(int *a,int flag)
{for(int i=0;i<len;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);for(int k=1;k<len;k<<=1) for (int i=0,w1=POW(g,(mod-1)/(k<<1));i<len;i+=(k<<1)) for(int j=0,w=1;j<k;j++,w=1ll*w*w1%mod){int x=a[i+j],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod;a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;}if(flag==-1){a[0]=1ll*a[0]*POW(len,mod-2)%mod;for(int i=1,inv=POW(len,mod-2);i<=len/2;i++){a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;if(i!=len-i) a[len-i]=1ll*a[len-i]*inv%mod;swap(a[i],a[len-i]);}}
}
int main()
{cin>>n,n++,cj[0]=cj[1]=1;for(int i=2;i<n;i++) cj[i]=(mod-1ll*(mod/i)*cj[mod%i]%mod)%mod;for(int i=1;i<n;i++) cj[i]=1ll*cj[i-1]*cj[i]%mod;for(int i=0,f=1;i<n;f=mod-f,i++) a[i]=1ll*f*cj[i]%mod,b[i]=1ll*POW(i,n-1)*cj[i]%mod;while(len<=(n<<1)) len<<=1,ln++;for(int i=0;i<len;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(ln-1));NTT(a,1),NTT(b,1);for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;NTT(a,-1);for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i]<<" ";
}