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本章介绍普里姆算法。和以往一样，本文会先对普里姆算法的理论论知识进行介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现。

普里姆算法介绍

普里姆(Prim)算法，和克鲁斯卡尔算法一样，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想

对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。

从所有u?U，v?(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u,

v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

普里姆算法图解

以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。

初始状态：V是所有顶点的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！

第1步：将顶点A加入到U中。

此时，U={A}。

第2步：将顶点B加入到U中。

上一步操作之后，U={A},

V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。

第3步：将顶点F加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B},

V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。

第4步：将顶点E加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F},

V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。

第5步：将顶点D加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E},

V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。

第6步：将顶点C加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E,D},

V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。

第7步：将顶点G加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C},

V-U={G}；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。

此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B

F E D C G。

普里姆算法的代码说明

以"邻接矩阵"为例对普里姆算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。

1.

基本定义

// 邻接矩阵

typedef struct _graph

{

char vexs[MAX]; // 顶点集合

int vexnum; // 顶点数

int edgnum; // 边数

int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵

}Graph, *PGraph;

// 边的结构体

typedef struct _EdgeData

{

char start; // 边的起点

char end; // 边的终点

int weight; // 边的权重

}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。

vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

2.

普里姆算法

/*

* prim最小生成树

*

* 参数说明：

* G -- 邻接矩阵图

* start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树

*/

void prim(Graph G, int start)

{

int min,i,j,k,m,n,sum;

int index=0; // prim最小树的索引，即prims数组的索引

char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组

int weights[MAX]; // 顶点间边的权值

// prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。

prims[index++] = G.vexs[start];

// 初始化"顶点的权值数组"，

// 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。

for (i = 0; i < G.vexnum; i++ )

weights[i] = G.matrix[start][i];

// 将第start个顶点的权值初始化为0。

// 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。

weights[start] = 0;

for (i = 0; i < G.vexnum; i++)

{

// 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。

if(start == i)

continue;

j = 0;

k = 0;

min = INF;

// 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。

while (j < G.vexnum)

{

// 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。

if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)

{

min = weights[j];

k = j;

}

j++;

}

// 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。

// 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中

prims[index++] = G.vexs[k];

// 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。

weights[k] = 0;

// 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。

for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++)

{

// 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。

if (weights[j] != 0 && G.matrix[k][j] < weights[j])

weights[j] = G.matrix[k][j];

}

}

// 计算最小生成树的权值

sum = 0;

for (i = 1; i < index; i++)

{

min = INF;

// 获取prims[i]在G中的位置

n = get_position(G, prims[i]);

// 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。

for (j = 0; j < i; j++)

{

m = get_position(G, prims[j]);

if (G.matrix[m][n]

min = G.matrix[m][n];

}

sum += min;

}

// 打印最小生成树

printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum);

for (i = 0; i < index; i++)

printf("%c ", prims[i]);

printf("\n");

}

普里姆算法的源码

这里分别给出"邻接矩阵图"和"邻接表图"的普里姆算法源码。

原文：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711506.html