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“极限”思想古已有之。

1 柯西的数列极限

1.1 用数列来表示逼近

前面说过，可以用内接等边多边形来逼近圆的面积：

容易知道内接等边 边形的面积为（详细证明可以查看这里）：

或者化简下：

也就是说等边三角形、等边四边形、等边五边形、等边六边形的面积如下：

奥古斯丁·路易·柯西（1789－1857），法国数学家，“极限”的重要发现者：

柯西把这些等边多边形的面积用花括号扩起来，称之为数列：

这个静态的数列实际上表示了逼近这一过程：

补充一下数列的严格定义：

如果按照某一法则，对每个 ，对应着一个确定的实数 ，这些实数 按照下标 从小到大排列得到的一个序列：

就叫做  ，简记为数列 。

数列中的每一个数叫做数列的  ，第 项 叫做数列的  。

1.2 柯西的数列极限

把此数列：

绘制到坐标系上看看，假设 ：

上图中横坐标为 ，纵坐标为对应的 。

可以看到，随着 的增大，数列越来越接近 这根横线，而这根横线正是时，圆的面积：

也就是说，随着 的增大，这个数列越来越接近圆的面积。当 无限大的时候，就是圆的面积。或者说，此数列的极限就是圆的面积。

数学家把刚才的那句话表示如下：

柯西成功的把逼近转为了严格的数学对象，数列。并且给出了数列的极限的定义：

若某数列无限地趋向于某一实数，与该实数的差可以任意小，则该确定的实数称为此数列的极限。

----柯西的数列极限

1.3 关于 符号

这里出现了一个符号， ，表示无穷大。不过对于实数数轴而言，有正无穷和负无穷：

所以， ，这个符号实际上是模糊的，为了防止混淆，我们文中遵循以下原则：

在中美教材中， 的含义是不一样的。为了避免考试出错，在有可能混淆的地方，建议最好明确地使用符号来表示无穷的正负。

要强调的一点，对于数列而言，因为 ，所以 表示的肯定是趋于正无穷，不会有歧义。遵循习惯，我们也沿用 表示趋于正无穷。

2 阿基里斯悖论

古希腊哲学家芝诺（盛年约在公元前464－前461年），提出了一个著名的悖论，阿基里斯悖论。

这个困扰数学家、哲学家多年的悖论，终于可以用数列的极限来解决了。

2.1 悖论

阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面10米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬。 乌龟说：“阿基里斯！ 谁说你跑得最快？你连我都追不上！”

阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的10倍，我也马上就可以超过你！”

乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前爬了1米。当你再向前跑过1米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚经过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”

就像下面这样：

阿基里斯说：“哎呀!我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢? ”

2.2 解决

不妨令阿基里斯步行的速度为 ，乌龟爬行的速度为 ， 并且在比赛之前，阿基里斯让乌龟先爬 ，在这种条件下，阿基里斯追赶乌龟所用的时间为：

阿基里斯追上乌龟所在的第一个位置所需时间：

此时，乌龟又爬了：

阿基里斯到达第二个位置要花费：

乌龟又爬了：

阿基里斯到达第三个位置所需时间：

如图：

这些数字按其先后，可以构成一个数列：

根据刚才的分析，可知：

所以， 之后就可以追上的。

文章最新版本请查看这里（可能有后续更新）：柯西的数列极限。